10. 嘘つき族と正直族クイズ -ホントに簡単な解き方-

Z島には、本当のことしか言わない『正直族』と,嘘しか言わない『嘘つき族』だけが住んでいます.ある日,島の住人A,Bがやってきて,Aが「我々は二人とも嘘つき族だ」と言いました.さて彼らは何族でしょう?

このクイズを解くには,次のように考えます.島の住人xが命題Pを述べたとしましょう.

xが正直族ならPは真となり,xが嘘つき族ならPは偽となります.ここで『住人xが正直族である』という文章をQxとすると,Qxが真ならPは真,Qxが偽ならPは偽となる.だから[Qx⇔P]はいつでも真となるはずです.

さて,上のクイズを解いてみましょう.まず『住人Aが正直族である』という文章をQAと書き,『住人Bが正直族である』という文章をQBと書くことにしましょう.すると,クイズの文章より,Aが述べたのは(¬QA∧¬QB)という命題です.これより[QA⇔(¬QA∧¬QB)]が真となっていなければなりません.では,AとBが何族になりうるか,可能な4通りについて調べてみましょう.

QA   QB ¬QA  ¬QB ¬QA ∧ ¬QB QA⇔(¬QA ∧ ¬QB)
真  真 偽  偽
真  偽 偽  真
偽  真 真  偽
偽  偽 真  真

すると上記の表から明らかなように,[QA⇔(¬QA∧¬QB)]が真となるのは,QAが偽,QBが真,のときだけですね.ゆえに,Aは嘘つき族,かつ,Bは正直族であることが分かります.

では練習問題をやってみましょう.

練習問題1:Z島の住人A,Bがやってきて,Aが「我々のうち少なくともどちらか一人は嘘つき族だ」と言った.A,Bはそれぞれ何族か?

では,上記と同様に手順通り解いてみましょう.まずは,『住民Aが正直族である』という文章をQA,『住民Bが正直族である』という文章をQB,とします.住人Aが話した文章(命題)をQA,QBで表すと,『住民Aが嘘つき族である』が¬QAとなり,『住民Bが嘘つき族である』が¬QBとなりますので,住民Aの文章は¬QA∧¬QBと書けます.これを言ったのが住人Aなので,QA⇔(¬QA∨¬QB)が真となります.ゆえに,QA⇔(¬QA∨¬QB)が真となるのは,

QA  QB ¬QA  ¬QB ¬QA ∨ ¬QB QA⇔(¬QA ∨ ¬QB)
真  真 偽  偽
真  偽 偽  真
偽  真 真  偽
偽  偽 真  真

より,QAが真,かつ,QBが偽のときに限ります.以上より,Aは正直族でBは嘘つき族であることが分かります.

練習問題2:Z島の住人A,Bがやってきて,Aが「私が嘘つき族か、我々二人とも正直族だ」と言った.A,Bはそれぞれ何族か?

住人Aが話した文章(命題)は,『住民Aが嘘つき族である』が¬QAであり,『AとBが正直族である』がQA∧QBとなりますから,住人Aが話した文章¬QA∨(QA∧QB)です.これを言ったのが住人Aですから,QA⇔(¬QA∨(QA∧QB))が真になる場合を探しましょう.

QA⇔(¬QA∨(QA∧QB))が真となるのは,

QA  QB ¬QA QA ∧ QB
真  真
真  偽
偽  真
偽  偽

より

QA  QB ¬QA ∨ (QA ∧ QB) QA⇔(¬QA ∨ (QA ∧ QB))

真  真
真  偽
偽  真
偽  真

が成り立って,QAが真,かつ,QBが真のときに限ります.ゆえに,AとBは正直族であることが分かります.

 

では,次の問題に挑戦してみてください.

練習問題3:Z島の住人A,B,Cがやってきて,Aは「我々三人の中で正直族は一人だ」と言い,Bは「その通りだ」と言った.A,B,Cはそれぞれ何族か?

練習問題4:Z島の住人A,B,Cがやってきて,Aは「Cは嘘つき族だ」,Bは「Cは正直族だ」,Cは「三人とも同じ族だ」と言った.A,B,Cはそれぞれ何族か?